087章 高斯定理的估算(第1/2页)

作品:《我只想当一个安静的学霸百度百科

“这位同学,请保持清醒,不要在考场上打瞌睡。”监考老师十分严肃的提醒沈奇。

“嗯,抱歉。”沈奇揉揉太阳穴,最近一段时间改《奥数冠军沈奇的数学技巧》的稿子,改的他心力憔悴,没怎么休息好。

“赶紧搞定最后一道计算题,搞完了回家补觉。”沈奇打起精神,仔细审题。

审完最后一道25分的计算题,沈奇终于有了几分兴趣:“就这最后一题,像是正规物理老师出的题。”

物理计算题大多配有示意图,不配图的物理题一般呈现两种极端,一种是简单的想打瞌睡,另一种是难的吊炸天。

初赛镇宅之题的分值最高,25分,这道计算配有示意图。

示意图是一个圆,从圆心o到圆周七点钟方位画有一条虚线r,这条虚线r是圆的半径。在圆心o旁边不远处有个小黑点mq。

本题的文字描述是:

“如图所示,电荷线密度为λ(λ>0),半径为r的均匀带电圆环固定在光滑的水平绝缘桌面上。质量为m、电量为q的光滑小球,静止放在桌面上与圆环中心o点非常接近的位置处。”

“设圆环上电荷的分布不受小球电荷的影响,试判断小球之后的运动是否为振动?”

“若为振动,设小球初始位置与o点的距离r0<<r,试用适当的近似方法估算小球的振动周期t。”

估算与严格计算的区别在于,估算可以绕过复杂的数学演算,直接获得正确的定性结论和比较接近的粗略定量结果。

就初赛最后一道计算题而言,小球的运动是振动还是非振动,沈奇必须给出定性结论,判断不得有误。这是第一步。

对于同一道物理题,如果采用估算方法,可选择的途径往往不止一条。

很明显,这是道电磁学题目,沈奇在诸多种估算方法中,选择静电场高斯定理为依据开始答题。

沈奇作出一个辅助图,取通过o点并与圆环平面垂直的轴为x轴。

在圆平面上以o点为圆心,作半径为r的圆。

将此圆沿x轴的正负方向各延展l,一个圆柱面就此形成。

沈奇取此圆柱面为高斯面,因其中无电荷,根据高斯定理可得:

∯e*ds=0

高斯定理一祭出,真相越来越清晰。

带正电的小球所受静电力总是指向圆环中心o点,为恢复性保守力,小球的运动为振动,振动中心就是o点。

沈奇很快解决了第一问,这就是定性给结论,接受过物竞培训的学生应该都能给出正确的结论性判断。

第二问要求沈奇估算小球的振动周期t,稍微麻烦一点点。

圆柱两端面的电通量可以近似的用x轴上的电场强度来计算,沈奇作出计算:

e1=λ(2πr)l/4πe(r^2+l^2)^3/2=λrl/2e(r^2+l^2)^3/2

那么通过两端面的电通量近似值就出来了:

∬两端面e*ds≈e1*2πr^2

通过圆柱侧面的电通量可以近似的用圆平面上与o点相距为r处的电场强度er来计算,根据高斯定理可得:

∯圆柱面e*ds=∬两端面e*ds+∬侧面e*ds=0

那么带电小球在r处所受静电力为:

fr=qer=-λq/4er^2*r

考虑到线性恢复力,小球在它的作用下将绕o点做简谐振动。

所以周期t=4πr根号em/λq

“搞定。”历经cmo乃至imo的洗礼,沈奇在学科竞赛的赛场上已算一位经验丰富的老将。

数竞也好,物竞也罢,竞赛模式大同小异。

既然是老将,就不能骄傲自大、暴躁浮夸,必须时刻保持严谨的竞赛作风。

沈奇检查了一遍考卷,然后交卷,此时距开考过去了30多分钟。

“这尼玛?”

“卧槽?”

“这么早交卷?”

“不停的写,写满试卷也得30分钟吧?”

“这货不用思考的?还是瞎几把写?”

同一考场的其他选手明显受到沈奇交卷的影响,各自在心中高呼mmp。

虽然cpho全国初赛的考卷不难,但这么早交卷也属罕见。

物竞圈子里也有眼尖的选手:“提前交卷这货……莫非是沈奇?那个国际奥数竞赛的冠军?”

沈奇走到考场门口,阿嚏,忽然打了个喷嚏,脊梁骨竟冒出一丝寒意。

“谁在骂我?”沈奇猛然回头,眼神犀利扫视众选手。

“草!”

众选手菊花乱颤,遂埋头继续答题。

“喂,交了卷请迅速离开考场。”监考老师催促沈奇,并快速审视沈奇的试卷,该写的都写满了,有理有据,不像瞎蒙,这种情况允许提前两个多小时交卷。